....

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 1) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMD$, ta có:

AB = AM (gt)

AD là cạnh chung

$\widehat{BAD} = \widehat {MAD}$ (AD là tia phân giác của góc $\widehat {BAC}$, M $\in BC$)

=> $\Delta ABD$ = $\Delta AMD$ (c - g - c)

2) Xét $\Delta ABI$ và $\Delta AMI$, ta có:

AB = AM (gt)

AI là cạnh chung

$\widehat{BAI} = \widehat {MAI}$ ($\widehat{BAD} = \widehat {MAD}$, I $\in$ AD)

=> $\Delta ABI$ = $\Delta AMI$ (c - g - c)

=> BI = IM (2 cạnh tương ứng)

=> I là trung điểm của BM

Ta có: $\Delta ABI$ = $\Delta AMI$ (cmt)

=> $\widehat{AIB} = \widehat {MIB}$

Mà $\widehat{AIB} + \widehat {MIB} = 180^o$ (2 góc k. bù)

=> $\widehat{AIB} = \widehat {MIB} = 90^o$

=> AI $\bot$ BM

3) Xét tứ giác APMB, ta có:
K là trung điểm của BP (KB = KP)

K là trung điểm của AM (gt)

AM cắt BP tại K

=> APMB là hình bình hành

=> MP // AB

4) Ta có: 

MP // AB

M $\in$ EP (ME là tia đối của MP)

=> ME // AB

Ta có APMB là hình bình hành

=> MP = AB

Mà MP = ME

=> ME = AB

Xét tứ giác AMEB, ta có:
ME // AB (cmt)

ME = AB (cmt)

=> AMEB là hình bình hành

Ta có:

AMEB là hình bình hành

I là trung điểm của BM (cmt)

=> I là trung điểm của AE

=> I $\in$ AE

=> A, I, E thẳng hàng