Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 `A=n^5-n+3`

`A=n(n^4-1)+3=n(n-1)(n+1)(n^2+1)+3`

`A=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)+3`

`A=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)+3`

Vì `n in N`

`=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)` là tích `5` số tự nhiên liên tiếp

`=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) \vdots 10`

`=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)` tận cùng là `0`

Và

`n(n-1)(n+1)` là tích `3` số tự nhiên liên tiếp

`=>n(n-1)(n+1) \vdots 2`

`=>5n(n-1)(n+1) \vdots 10`

`=>5n(n-1)(n+1)` tận cùng là `0`

`=>A=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)+3` tận cùng là `3`

$n^5-n\\=n(n^4-1)\\=n(n^2-1)(n^2+1)\\=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)\\=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$

$n,n-1,n+1,n-2,n+2$ là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 5 số $\vdots 2,\vdots 5$ mà $(2;5)=1$

$\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\vdots 10$

$n,n-1,n+1$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 3 số $\vdots 2,\vdots 3$ mà $(2;3)=1$

$\to n(n-1)(n+1)\vdots 6\\\to 5n(n-1)(n+1)\vdots 30\vdots 10\\\to (n^5-n)≡0\pmod{10}\\3≡3\pmod{10}\\\to A≡3\pmod{3}$

$\to$Chữ số tận cùng của $A$ là $3$.