Đáp án:

Bài 1: \(m <  - \frac{1}{4}\)

Bài 2: \(m \in \emptyset\)

Giải thích các bước giải:

Bài 1:

\({x^2} - 2mx + 4m + 1 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 4m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{4}.\)

Bài 2:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2mx - y = 3\\x - 4my = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{m^2}x - 4my = 12m\\x - 4my = m\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {8{m^2} - 1} \right)x = 11m\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{m^2} - 1 = 0\\11m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \emptyset .\)

Vậy không có giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Câu 1

Để ptrinh có 2 nghiệm trái dấu thì ptrinh phải có 2 nghiệm phân biệt và tích của chúng nhỏ hơn 0.

Để có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta' > 0$ hay

$m^2 - (4m +1) > 0$

$<-> m^2 - 4m - 1 > 0$

$<-> m > 2 + \sqrt{5}$ hoặc $m < 2-\sqrt{5}$

Khi đó ptrinh có 2 nghiệm $x_1, x_2$ và áp dụng Viet ta có

$x_1 x_2 = 4m + 1$

Để 2 nghiệm trái dấu thì tích của chúng nhỏ hơn 0, do đó

$4m + 1 < 0$

$<-> m < -\dfrac{1}{4}$

Kết hợp vs đk ta có

$m < -\dfrac{1}{4}$

Câu 2

Để hệ ptrinh có vô số nghiệm thì

$\dfrac{2m}{1} = \dfrac{-1}{-4m} = \dfrac{3}{m}$

$<-> 8m^2 = 1$ và $m = 12m$

$<-> m^2 = \dfrac{1}{8}$ và $1 = 12$ (vô lý)

Vậy ko có giá trị nào của $m$ thỏa mãn đề bài.