Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a,` Tứ giác `ANEM` có $\widehat{A}=$$\widehat{N}=$$\widehat{M}=$ `90^o`

` => ANEM` là hình chữ nhật

`b`, Ta có ` EN` $\bot$ `AC`

             `AB` $\bot$ `AC `

    `=> EN || AB`

Mà `E` là trung điểm `BC`

`=> N` là trung điểm `AC` lại có `N` là trung điểm `EH`

`=> AECH` là hình bình hành 

Mà `AC` $\bot$ `EH => AECH` là hình thoi 

`c`, Cho hình chữ nhật `ANEM` thành hình vuông 

`<=> AE` là phân giác $\widehat{BAC}$ 

Mà `AE` là trung tuyến 

`=>` $\triangle$ `ABC` vuông cân tại `A`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Vì H đx E qua AC

$\Rightarrow$ $\text{EH $\bot$ AC tại N}$ và N là trung điểm AC

ANEM có: $\begin{cases} \text{$\widehat{AME}=90^o$ (EM $\bot$ AB)}\\\text{$\widehat{MAN}=90^o$ ($\Delta$ABC vuông tại A)}\\\text{$\widehat{ANE}=90^o$ (EN $\bot$ AC)} \end{cases}$

$\Rightarrow$ $\text{ANEM là hình chữ nhật}$

b) $\text{Xét $\Delta$AEN và $\Delta$CHN cùng vuông tại N có:}$

$\begin{cases} \text{AN = CN (N là trung điểm AC)}\\\text{EN = HN (H đx E qua AC)} \end{cases}$

$\Rightarrow$ $\text{$\Delta$AEN = $\Delta$CHN (cgv_cgv)}$

$\Rightarrow$ $\text{$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (2 góc tương ứng)}$

Mà $\widehat{A_1}$ và $\widehat{C_1}$ là cặp góc so le trong

$\Rightarrow$ AE // CH

AECH có: $\begin{cases} \text{AE = CH ($\Delta$AEN = $\Delta$CHN)}\\\text{AE // CH (cmt)} \end{cases}$

$\Rightarrow$ AECH là hình bình hành

Có N là giao điểm của 2 đường chéo EH và AC

Mà $\text{EH $\bot$ AC tại N}$

$\Rightarrow$ AECH là hình thoi

c) Ta có $\begin{cases} \text{E là trung điểm BC}\\\text{EM // AC (cùng $\bot$ AB)} \end{cases}$

$\Rightarrow$ EM là đường trung bình $\Delta$ABC

$\Rightarrow$ M là trung điểm AB

$\Rightarrow$ $\text{AM = BM = $\dfrac{1}{2}$AB (1)}$

Vì N là trung điểm AC

$\Rightarrow$ $\text{AN = CN = $\dfrac{1}{2}$AC (2)}$

Để ANEM là hình vuông

$\Rightarrow$ $\text{AM = AN (3)}$

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow$ AB = AC

$\Rightarrow$ $\Delta$ABC cân tại A

Vậy $\Delta$ABC vuông cân tại A thì ANEM là hình vuông.