Giải thích các bước giải:

a. Xét tam giác ABD có M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD

Khi đó: MQ là đường trung bình thuộc cạnh BD của tam giác ABD.

 ⇔ MQ//BD và MQ = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự: PN//CD và PN = 1/2 BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC vuông góc với BD

Hình bình hành MNPQ có MQ vuông góc với MN và MQ = MN nên MNPQ là hình vuông.

Vậy MNPQ là hình vuông.

b. Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của 2 đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD

Dễ chứng minh MBPD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD và MP

Do MNPQ là hình vuông nên O là trung điểm của MP và QN

Vậy AC, BD, MP, QN đồng quy tại O.

c. Theo câu a: MQ//BD nên DOMB là hình thang (*)

Mà MB = 1/2 AB = 1/2 AD = QD (ABCD là hình vuông) (**)

Từ (*) và (**) suy ra DQMB là hình thang cân.

d. Diện tích tam giác ABD: ${S_{ABD}} = {{AB.AD} \over 2} = {{a.a} \over 2} = {{{a^2}} \over 2}$

Diện tích tam giác AMQ: ${S_{AMQ}} = {{AM.AQ} \over 2} = {{{a \over 2}.{a \over 2}} \over 2} = {{{a^2}} \over 8}$

Vậy diện tích hình thang DQMB là: 

${S_{DQMB}} = {S_{ABD}} - {S_{AMQ}} = {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 8} = {{3{a^2}} \over 8}$