$a)^{}$ Xét $ΔABC^{}$ có:

$M^{}$ là trung điểm của $AB^{}$ (gt)

$N^{}$ là trung điểm của $AC^{}$ (gt)

⇒ $MN^{}$ là đường trung bình của $ΔABC^{}$

⇒  $MN//BC^{}$ 

⇒ Tứ giác $BCNM^{}$ là hình thang (dhnb)

$b)^{}$ Vì $N^{}$ là trung điểm của $AC^{}$ (gt)

                 $K^{}$ là trung điểm của $BC^{}$ (gt)

⇒ $NK^{}$ là đường trung bình của $ΔABC^{}$ 

⇒ $NK//AB^{};NK=$\frac{1}{2}$ AB=AM=BM$ 

hay $NK//AM;NK=AM^{}$ 

⇒ Tứ giác $AMKN^{}$ là hình bình hành (dhnb)

$c)^{}$ $ΔAHB^{}$ vuông tại $H^{}$ có tủng tuyến $HM^{}$ ứng cạnh $AB^{}$ 

⇒ $HM=MA=MB=$\frac{1}{2}$AB ^{}$ 

Mà $D^{}$ đối xứng $H^{}$ qua $M^{}$ 

⇒ $MD=MH=\frac{1}{2}DH$ 

⇒ $AB=DH^{}$ 

Xét tứ giác $ADBH^{}$ có:

      $AB=DH^{}$ (cmt)

       $M=AB∩DH^{}$ 

$M^{}$ là trung điểm của $AB^{}$ và $DH^{}$ 

⇒ Tứ giác $ADBH^{}$ là hình chữ nhật (dhnb)

$d)^{}$ Để tứ giác $AMKN^{}$ là hình vuông thì:

$\left \{ {{∠MAN=90^0} \atop {AM=AN}} \right.$ ⇒ $\left \{ {{AB⊥AC} \atop {AB=AC}} \right.$ 

⇒ $ΔABC^{}$ vuông cân tại $A^{}$ thì tứ giác $AMKN^{}$ là hình vuông