a)

Tứ giác $MDHE$ có $\widehat{MDH}=\widehat{MEH}=\widehat{DME}=90{}^\circ $

Nên $MDHE$ là hình chữ nhật

 

b)

Ta có $MDHE$ là hình chữ nhật

Mà $O$ là trung điểm $DE$

Nên $O$ cũng là trung điểm $MH$

Vậy $M,O,H$ thẳng hàng

 

c)

Ta có $\Delta MNP$ vuông tại $M$

Nên $M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}=N{{P}^{2}}$ (Định lý Pitago)

$\Rightarrow MP=\sqrt{N{{P}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4cm$

Vậy ${{S}_{\Delta MNP}}=\dfrac{1}{2}MN.MP=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6c{{m}^{2}}$

 

d)

Ta có $\Delta EHP$ vuông tại $E$ với trung tuyến $EA$

Nên $EA=HA=PA=\dfrac{1}{2}HP$

$\Rightarrow \Delta AEH$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AEH}=\widehat{AHE}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $MDHE$ là hình chữ nhật với $MH$ giao $DE$ tại $O$

Nên $OE=OH$

$\Rightarrow \widehat{OEH}=\widehat{OHE}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế,

Ta được $\widehat{AEH}+\widehat{OEH}=\widehat{AHE}+\widehat{OHE}$

$\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{MHA}$

Mà $\widehat{MHA}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{AED}=90{}^\circ $

Vậy $\Delta DEA$ vuông tại $E$

 

e)

Ta có:

+ $2EA=HP$   (vì $EA=\dfrac{1}{2}HP$)

+ $DE=MH$   (vì $MDHE$ là hình chữ nhật)

Nên để $DE=2EA$

Thì $HP=MH$

$\Rightarrow \Delta MHP$ cân tại $H$

Mà $\Delta MHP$ lại vuông tại $H$

Nên $\Delta MHP$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{MPN}=45{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta MNP$ vuông cân tại $M$

Vậy $\Delta MNP$ cần vuông cân tại $M$ thì $2EA=DE$