Ta sẽ chứng minh :

`(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3` (1)

Với `n=1`

`->` (1) đúng

Giả sử (1) đúng với `n=k`

Khi đó (1) viết lại thành :

`(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3`

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với `n=k+1`

Khi đó (1) viết lại thành :

`(1+2+...+k+k+1)^2=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3`

Vế trái :

`=(1+2+...+k)^2 +2(1+2+...+k) (k+1)+(k+1)^2`

`= 1^3+2^3+...+k^3  + k (k^2+2k+1)+k^2+2k+1`

`= 1^3+2^3+...+k^3+k^3 +2k^2 + k +k^2+2k+1`

`=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3` (Bằng vế phải)

Thật vậy (1) đúng với `n=k+1`

`-> (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3` (Theo giả thiết quy nạp) (*)

Trở lại bài :

`A=1^3+2^3+...+2020^3`

Áp dụng (*) vừa chứng minh ta được :

`A=(1+2+...+2020)^2\vdots (1+2+...+2020)`

`->A\vdots B`

Ta có : ` n=1 ` thì ` 1^3=1^2 ` ( đúng )

Gỉa sử ta có : ` n = k `

` 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2 `

` ⇒ ` Cần chứng minh đẳng thức đúng với ` n = k+1 `

` 1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=(1+2+3+..+(k+1))^2 `

` VT=1^3+2^3+3^3+..+k^3+(k+1)^3 `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3 `

` VP=(1+2+3+..+(k+1))^2 `

` =(1+2+3+...+k)^2+2(k+1)(1+2+3+...+k)+(k+1)^2 `

` = (1+2+3+...+k)^2+(k+1).2.[(1+2+3+..+k)+k+1] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[\frac{2.(k+1).k}{2}+k+1] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[(k+1).k+k+1] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[k^2+k+k+1] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[k(k+1)+k+1] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[(k+1)(k+1)] `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1).(k+1)^2 `

` =(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3 `

` ⇒VT=VP `

` ⇒1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2 `

` ⇒ A=1^3+2^3+3^3+...+2020^3=(1+2+3+...+2020)^2=(1+2+3+...+2020).(1+2+3+...+2020) `

` ⇒ A⋮1+2+3+...+2020 `