1)

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $AM$ là trung tuyến

Nên $AM$ cũng là đường cao

Do đó $AM\bot BC$ tại $M$

 

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta MNC$, ta có:

+ $\widehat{ACM}$ chung

+ $\widehat{AMC}=\widehat{MNC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AMC\backsim\Delta MNC\left( g.g \right)$

 

2)

Vì $\Delta AMC\backsim\Delta MNC\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{MN}=\dfrac{MC}{NC}$

$\Rightarrow AM.NC=MN.MC$

$\Rightarrow AM.NC=\left( \dfrac{1}{2}MN \right).\left( 2MC \right)$

$\Rightarrow AM.NC=OM.BC$

 

3)

Gọi $D$ là trung điểm $NC$

Và với $O$ là trung điểm $MN$

$\Rightarrow OD$ là đường trung bình $\Delta NMC$

$\Rightarrow OD//MC$

$\Rightarrow OD\bot AM$

 

Xét $\Delta AMD$, ta có:

+ $MN$ là đường cao của $\Delta AMD$

+ $DO$ là đường cao $\Delta AMD$

+ $MN$ giao $DO$ tại $O$

Nên $O$ là trực tâm $\Delta AMD$

Do đó $AO\bot MD\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 

Xét $\Delta NBC$, ta có:

+ $M$ là trung điểm $BC$

+ $D$ là trung điểm $NC$

Nên $MD$ là đường trung bình $\Delta NBC$

Do đó $MD//BN\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

 

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow AO\bot BN$