a)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$, ta có:

+ $AB=AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

+ $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

+ $BD=CE\left( gt \right)$

Nên $\Delta ABD=\Delta ACE\left( c.g.c \right)$

 

b)

Xét $\Delta HBD$ vuông tại $H$ và $\Delta KCE$ vuông tại $K$, ta có:

+ $\widehat{HBD}=\widehat{KCE}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

+ $BD=CE\left( gt \right)$

Nên $\Delta HBD=\Delta KCE\left( ch-gn \right)$

Do đó $HD=EK$ (hai cạnh tương ứng)

 

c)

Ta có:

+ $AB=AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

+ $BH=CK$ $\left( \Delta HBD=\Delta KCE \right)$

Nên $AH=AK$

$\Rightarrow \Delta AHK$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AHK}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Do đó $\widehat{AHK}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $HK//BC$

 

d)

Xét $\Delta AHI$ vuông tại $H$ và $\Delta AKI$ vuông tại $K$, ta có:

+ $AI$ là cạnh chung

+ $AH=AK\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AHI=\Delta AKI\left( ch-cgv \right)$

$\Rightarrow \widehat{HAI}=\widehat{KAI}$

$\Rightarrow AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$   $\left( 1 \right)$

 

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $AM$ là trung tuyến

Nên $AM$ cũng đồng thời là đường phân giác

Do đó $AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$   $\left( 2 \right)$

 

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow A,M,I$ thẳng hàng