Giải thích các bước giải:

a, Xét \(\triangle MAO\) và \(\triangle PBO\) có:

\(AO=OB; \widehat{MAO}=\widehat{OBP}=90^o; \widehat{AOM}=\widehat{BOP}\)

\(\Rightarrow \triangle MAO=\triangle PBO\) (g-c-g)

\(\Rightarrow OM=OP;\widehat{AMO}=\widehat{BPO}\)

Tam giác MNP có ON là đường cao đồng thời là trung tuyến nên tam giác MNP cân tại N nên \(MN=NP;\widehat{NMP}=\widehat{P}\)

b) Ta có: \(\widehat{NMP}=\widehat{P}(cmt);\widehat{MAO}=\widehat{OIM}=90^o; MO\) chung nên \(\triangle OAM=\triangle OIM\)

\(\Rightarrow OI=OA=R\). Lại có \(MN\perp OI\) nên MN là tiếp tuyến của (O)

c, Theo chứng minh trên ta có MN là tiếp tuyến nên \(AM=MI; NI=NB\)

Trong tam giác OMN có:\(OI^2=MI.IN=R^2\Rightarrow AM.NB=R^2\)

Ta có: \(S_{AMNB}=\frac{1}{2}(AM+NB).AB=R(MI+IN)\ge R.2\sqrt{MI.IN}=2R^2\)

\(\Rightarrow Min S_{AMNB}=2R^2\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(MI=IN\) khi đó tam giác OMN vuông cân tại O nên \(OI=MI=R\Rightarrow MN=2R\) và \(AM=R\)

Vậy khi M cách A một khoảng bằng R thì diện tích AMNB nhỏ nhất