1)

Ta có:

+ $OB=OC=R$

+ $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $OA$ là đường trung trực của $BC$

 

2)

Không thể chứng minh $OH.OA=\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$

Mà chỉ có thể chứng minh $OH.AH=\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$

 

Với $OA$ là đường trung trực của $BC$ và $OA$ giao $BC$ tại $H$

Nên $OA\bot BC$ tại $H$ và $H$ là trung điểm $BC$

 

Ta có $\Delta OBA$ vuông tại $B$ với đường cao $BH$

$\Rightarrow OH.AH=B{{H}^{2}}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow OH.AH={{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$  

 

3)

Vì $I$ là trung điểm dây cung $DE$

Nên $OI\bot DE$ tại $I$

 

Xét $\Delta OFH$ và $\Delta OAI$, ta có:

+ $\widehat{FOH}$ là góc chung

+ $\widehat{OHF}=\widehat{OIA}=90{}^\circ $

Nên $\Delta OFH\backsim\Delta OAI\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OH}{OI}\Rightarrow OI.OF=OH.OA$

$\Delta OBA$ vuông tại $B$ với đường cao $BH$

$\Rightarrow O{{B}^{2}}=OH.OA$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow O{{B}^{2}}=OI.OF$

$\Rightarrow O{{D}^{2}}=OI.OF$

$\Rightarrow \dfrac{OD}{OI}=\dfrac{OF}{OD}$

 

Xét $\Delta ODF$ và $\Delta OID$, ta có:

+ $\dfrac{OD}{OI}=\dfrac{OF}{OD}\left( cmt \right)$

+ $\widehat{DOF}$ là góc chung

Nên $\Delta ODF\backsim\Delta OID\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \widehat{ODF}=\widehat{OID}=90{}^\circ $

$\Rightarrow FD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

CMTT $FE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

 

Do $d$ cố định nên $D,E$ cố định

Vì vậy $F$ cũng cố định