Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 B5)

a³+b³+6ab$\leq$ 8

⇔(a+b)³-8-3ab(a+b)+6ab$\leq$ 0

⇔(a+b-2)((a+b)²+2(a+b)+4)-3ab(a+b-2)$\leq$ 0

⇔(a+b-2)((a+b)²+2(a+b)+4-3ab)$\leq$ 0

⇔(a+b-2)(a²+b²+2(a+b)+4-ab)$\leq$ 0

ta xét a²+b²+2(a+b)+4-ab

$\geq$ $\frac{(a+b)^2}{2}$ +2(a+b)+4-$\frac{(a+b)^2}{4}$

$\geq$ $\frac{(a+b)^2}{4}$ +2(a+b)+4

=($\frac{a+b}{2}$+2)^2 $\geq$ 0

⇒(a+b-2)(a²+b²+2(a+b)+4-ab)$\leq$ 0

⇔a+b-2 $\leq$ 0

⇔a+b $\leq$ 2

Ta có 

P=a+2b+$\frac{2}{a}$$\frac{3}{b}$ 

=a +$\frac{1}{a}$ + 2b+$\frac{2}{b}$ +$\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ 

$\geq$ 2 + 4 + $\frac{4}{a+b}$ $\geq$ 2+4+$\frac{4}{2}$ =8

⇒P$\geq$ 8 ( ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

B3)

a)

\(\left[ \begin{array}{l}x(x+1)+y(y+1)=x^2+(y+1)^2(1)\\2x-y=3(2)\end{array} \right.\)

từ (2) $\Rightarrow$ y=2x-3(3)

 Thế (3) vào (1) ta có

$x^{2}$ +x+(2x-3)(2x-3+1)=$x^{2}$+$(2x-3+1)^{2}$

x²+x+4x²-10x+6=x²+4x²-8x+4

-9x+6=-8x+4

x=2

⇒ y = 2.2-3=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(2;1)

b)

\(\left[ \begin{array}{l}(a+1)x-y=a+1(1)\\x+(a-1)y=2(2)\end{array} \right.\)

từ (2) ⇒ x=2-ay+y(3)

Thế (3) vào (1) ta có

(a+1)(2-ay+y) -y = a+1

2a+2-a²y-ay+ay+y-y=a+1

a²y-a-1=0

 y=$\frac{a+1}{a^2}$ 

 x= 2-$\frac{a+1}{a^2}$.a+$\frac{a+1}{a^2}$

x = 2- ($\frac{a+1}{a}$ -$\frac{a+1}{a^2}$ )

x= 2- ($\frac{a(a+1)}{a^2}$ -$\frac{a+1}{a^2}$ )

x= 2- $\frac{a^2-1}{a^2}$

x =$\frac{a^2+1}{a^2}$ 

x+ y =$\frac{a^2+1}{a^2}$+$\frac{a+1}{a^2}$ 

x+y=$\frac{a^2+a+2}{a^2}$ 

= 1 +$\frac{1 }{a}$ +$\frac{2}{a^2}$ 

Đặt $\frac{1}{a}$ là t ta có 

x+y= 2t²+t+1 = 2(t²+$\frac{t}{2}$ +$\frac{1}{16}$) +$\frac{7}{8}$ 

=2(t+$\frac{1}{4}$)^2 +$\frac{7}{8}$ $\geq$ $\frac{7}{8 }$

Vậy Min x+y = $\frac{7}{8}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi t=$\frac{-1}{4}$ ⇔$\frac{1}{a}$ = $\frac{-1}{4}$ ⇔a=-4