Giải thích các bước giải:

a )

Ta có :

`AD` = `AB` + `BD`

`AE` = `AC` + `AE`

Mà :

`AB` = `AC` ( `ΔABC` cân tại `A` )

`BD` = `CE` ( gt )

`⇒` `AD` = `AE`

Xét `ΔADC` và `ΔAEB` có :

`AD` = `AE` ( cmt )

`AB` = `AC` ( `ΔABC` cân tại `A` )

`hat{A}` góc chung 

`⇒` `ΔADC` = `ΔAEB` `(c.g.c)`

Xét `ΔADI` và `ΔAEC` có :

`AD` = `AE` ( cmt )

`hat{ADI}` = `hat{AEI}` ( `ΔADC` = `ΔAEB` )

`AI` cạnh chung 

`⇒` `ΔADI` = `ΔAEC` `(c.g.c)` `↔` `ID` = `IE`

Ta có :

`BE` = `IB` + `IE` ( gt )

`CD` = `IC` + `ID` ( gt )

Mà :

`BE` = `CD` ( `ΔADC` = `ΔAEB` )

`ID` = `IE` ( cmt )

`⇒` `IB` = `IC`

b )

Ta có :

`ΔABC` cân tại `A`

`⇒` `hat{ABC}` = `hat{ACB}` = `(180^o-hat{A})/2` ( 1 )

Xét `ΔADE` có :

`AD` = `AE` ( cmt )

`⇒` `ΔADE` cân tại `A`

`⇒` `hat{ADE}` = `hat{AED}` = `(180^o-hat{A})/2` ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :

`hat{ABC}` = `hat{AED}` = `(180^o-hat{A})/2` ( cmt )

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`⇒` `BC` // `DE` ( đpcm )

c )

Ta có :

`hat{BAM}` = `hat{CAM}` ( `ΔADI` = `ΔAEC` )

`AM` ∈ `hat{BAC}`

`⇒` `AM` là phân giác `hat{BAC}`

Ta cũng có :

`ΔABC` cân tại `A`

`⇒` `AM` là trung trực đoạn `BC`

`⇒` `hat{BMA}` = `hat{CMA}` = `90^o`

Xét `ΔABI` và `ACI` có :

`AB` = `AC` ( `ΔABC` cân tại `A` )

`AI` cạnh chung

`hat{BAM}` = `hat{CAM}` ( `ΔADI` = `ΔAEC` )

`⇒` `ΔABI` = `ΔACI` `(c.g.c)`

`⇒` `BI` = `CI` (  cạnh tương ứng ) `↔` `ΔBIC` cân tại `I`

Ta có :

`hat{BIM}` = `hat{CIM}` ( `ΔABI` = `ΔACI` )

`BI` ∈ `hat{BIC}`

`⇒` `BI` là phân giác `hat{BIC}`

Mà :

`ΔBIC` cân tại `I`

`BM` = `CM`

`⇒` `BI` là trung trực đoạn `BC` `↔` `hat{IMB}` = `hat{IMC}` = `90^o`

Ta có :

`hat{AMB}` + `hat{IMB}` = `90^o` + `90^o` = `180^o`

`⇒` `A;M;I` thẳng hàng

* Chú thích : Trong tam giác cân , đường phân giác đồng thời là đường trung trực ( đường cao ).