Đáp án:

 $\frac{3}{4}$

Giải thích các bước giải:

 $\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt{ax+1}\sqrt[3]{bx+1}-1}{x}$=$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt{ax+1}\sqrt[3]{bx+1}-\sqrt{ax+1}+\sqrt{ax+1}-1}{x}$=$\lim\limits_{x\to0}  \frac{\sqrt{ax+1}(\sqrt[3]{bx+1}-1)+\sqrt{ax+1}-1}{x}$=$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt{ax+1}(\frac{bx}{(\sqrt[3]{bx+1})^{2}+\sqrt[3]{bx+1}+1})+\frac{ax}{\sqrt{ax+1}+1}}{x}$=$\lim\limits_{x\to0} \sqrt{ax+1}(\frac{b}{(\sqrt[3]{bx+1})^{2}+\sqrt[3]{bx+1}+1})+\frac{ax}{\sqrt{ax+1}+1}$=$\frac{b}{3}+\frac{a}{2}$

$f(0)=a+b-1$

Để hàm số liên tục tại x=0 thì:

\(\frac{b}{3}+\frac{a}{2}=a+b-1\)

\(\Leftrightarrow 3a+4b=6\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{6-4b}{3}\)

P=\(a.b=(\frac{6-4b}{3}).b=\frac{-4b^{2}+6b}{3}=-\frac{4}{3}b^{2}+2b\) (*)

Ta thấy P là parabol a<0 nên đồ thị lõm xuống 

Vậy GTLN là đỉnh

\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2.\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\)