Giải thích các bước giải:

a.Vì $I$ là trung điểm $DE\to OI\perp DE$

Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=\widehat{AIO}=90^o$

$\to A, B, I, O, C\in$ đường tròn đường kính $AO$

$\to BOIC$ nội tiếp 

Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AC\perp OC$

Mà $BC\perp AO=H$

$\to AC^2=AH\cdot AO$

Xét $\Delta ACD,\Delta ACE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ACD}=\widehat{AEC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta ACD\sim\Delta AEC(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to AC^2=AD\cdot AE$

$\to AD\cdot AE=AH\cdot AO$

$\to \dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AE}$

Lại có $\widehat{DAH}=\widehat{OAE}$

$\to\Delta ADH\sim\Delta AOE(c.g.c)$

$\to \widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}$

$\to OEDH$ nội tiếp

b.Ta có $A, B, O, I, C$ nội tiếp

$\to \widehat{CIA}=\widehat{ABC}=\widehat{BKC}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Gọi $AI\cap BC=F$

$\to \widehat{CIF}=\widehat{CKB}$

Mà $\widehat{IFC}=\widehat{CBK}$ do $DE//BK$

$\to\Delta CFI\sim\Delta CBK(g.g)$

$\to\widehat{FCI}=\widehat{BCK}$

$\to C, I, K$ thẳng hàng

c.Ta có $M$ đối xứng với $E$ qua $AO$

$\to \widehat{MHO}=\widehat{EHO}$

$\to \widehat{MHE}=2\widehat{OHE}=2\widehat{ODE}$ vì $OEDH$ nội tiếp

$\to \widehat{MHE}=\widehat{ODE}+\widehat{ODE}$

$\to \widehat{MHE}=\widehat{ODE}+\widehat{OED}$ vì $OD=OE$

Mà $\widehat{EHD}=\widehat{EOD}$

$\to \widehat{MHE}+\widehat{EHD}=\widehat{ODE}+\widehat{OED}+\widehat{DOE}=180^o$

$\to \widehat{MHD}=180^o$

$\to M, H, D$ thẳng hàng