ĐKXĐ : `x\ne 2`

Phân tích tử :

`x^4-16`

`=(x^2-4)(x^2+4)`

`=(x-2)(x+2)(x^2+4)`

Phân tích mẫu :

`x^4-4x^3 +8x^2 - 16x+16`

`= x^4 - 2x^3 -2x^3 + 4x^2 +4x^2 - 8x - 8x+16`

`= x^3(x-2)-2x^2(x-2) +4x(x-2)-8(x-2)`

`=(x-2)(x^3-2x^2+4x-8)`

`=(x-2)[x^2(x-2)+4(x-2)]`

`= (x-2)(x-2)(x^2+4)`

`(x^4-16)/(x^4-4x^3+8x^2 - 16x+16)`

`=((x-2)(x+2)(x^2+4))/((x-2)(x-2)(x^2+4))`

`= (x+2)/(x-2)`

`=(x-2+4)/(x-2)`

`=1+4/(x-2)`

Để phân biểu thức nguyên

`->4\vdots x-2`

`->x-2\in Ư (4)={1;-1;2;-2;4;-4}`

`->x\in {3; 1; 4;0;6;-2}` (Tm)

Vậy `x\in {3;1;4;0;6;-2}` để biểu thức nguyên

Đáp án + Giải thích các bước giải:

` \frac{x^4 - 16}{x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16} `

` = \frac{(x^2 - 4). (x^2 + 4)}{x^4 - 2x^3 - 2x^3 + 4x^2 + 4x^2 - 8x - 8x + 16} `

` = \frac{(x - 2). (x + 2). (x^2 + 4)}{x^3. (x - 2) - 2x^2. (x - 2) + 4x. (x - 2) - 8. (x - 2)} `

` = \frac{(x - 2). (x + 2). (x^2 + 4)}{(x^3 - 2x^2 + 4x - 8). (x - 2)} `

` = {(x - 2). (x + 2). (x^2 + 4)}/{[(x^2. (x - 2) + 4. (x - 2)]. (x - 2) `

` = \frac{(x - 2). (x + 2). (x^2 + 4)}{(x - 2). (x^2 + 4). (x - 2)} `

` = \frac{x + 2}{x - 2} `

` = \frac{x - 2 + 4}{x - 2} `

` = \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} `

` = 1 + \frac{4}{x - 2} ` ` (x \ne 2) `

Biểu thức nhận giá trị nguyên khi:

` x - 2 \in Ư(4) `

` => x - 2 \in {-4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4} `

` => x \in {-2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 6} ` (thỏa mãn điều kiện ` x \in Z) `

Vậy với ` x \in {-2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 6} ` thì biểu thức nhận giá trị nguyên.