Đáp án

1)

$DB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)\Rightarrow DB\bot BO$

$DC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)\Rightarrow DC\bot CO$

Ta có $\Delta DBO,\Delta DCO,\Delta DHO$ lần lượt vuông tại $B,C,H$ có cung cạnh huyền $DO$

Nên 5 điểm $B,H,O,C,D$ cùng thuộc một đường tròn

2)

Ta có:

$OB=OC=R$

$DB=DC$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $DO$ là đường trung trực $BC$

$\Rightarrow DO\bot BC$ tại $I$

Xét $\Delta OHD$ và $\Delta OIA$, ta có:

$\widehat{OHD}=\widehat{OIA}=90{}^\circ $

$\widehat{DOH}$ góc chung

Nên $\Delta OHD\backsim\Delta OIA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OD}{OA}\Rightarrow OH.OA=OI.OD$

3)

Ta có $\Delta DBO$ vuông tại $B$ với đường cao $BI$

Nên $O{{B}^{2}}=OI.OD$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow O{{B}^{2}}=OH.OA$

$\Rightarrow O{{M}^{2}}=OH.OA$

$\Rightarrow \dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OA}{OM}$

Xét $\Delta OMA$ và $\Delta OHM$, ta có

$\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OA}{OM}\left( cmt \right)$

$\widehat{MOA}$ góc chung

Nên $\Delta OMA\backsim\Delta OHM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{OMA}=\widehat{OHM}=90{}^\circ $

$\Rightarrow AM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$