a)

Xét $\Delta AFH$ và $\Delta ADB$, ta có

$\widehat{FAH}$ là góc chung

$\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta AFH\backsim\Delta ADB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

b)

Từ $AF.AB=AH.AD\Rightarrow \dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AB}{AD}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AFD$, ta có

$\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{AB}{AD}\left( cmt \right)$

$\widehat{HAB}$ là góc chung

Nên $\Delta AHB\backsim\Delta AFH\left( c.g.c \right)$

c)

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$, ta có:

$\widehat{EAB}$ là góc chung

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta AEB\backsim\Delta AFC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$, ta có:

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\left( cmt \right)$

$\widehat{BAC}$ là góc chung

Nên $\Delta AEF\backsim\Delta ABC\left( c.g.c \right)$

d)

Xét $\Delta HEC$ và $\Delta HFB$, ta có

$\widehat{HEC}=\widehat{HFB}=90{}^\circ $

$\widehat{EHC}=\widehat{FHB}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HEC\backsim\Delta HFB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HC}{HB}\Rightarrow HE.HB=HF.HC$

a,

Xét `ΔAHF` và `ΔABD` có:

`\hat(A)` là góc chung

`\hat(F)=\hat(D)(=90^0)`

`->ΔAHF`$\backsim$`ΔABD(g-g)`

`->(AF)/(AH)=(AD)/(AB)<=>AF.AB=AH.AD`

b,

`AF.AB=AH.AD->(AF)/(AH)=(AD)/(AB)`

Xét `ΔAHB` và `ΔAFD`

`(AF)/(AH)=(AD)/(AB)`(cmt)

`\hat(A)` góc chung

`->ΔAHB`$\backsim$`ΔAFD(c-g-c)`

c,

`BE bot AC->\hat(HEA)=90^9`

Xét `ΔAEH` và `ΔADC` có:

`\hat(A)` cạnh chung

`\hat(AEH)=\hat(ADC90^0`

`->ΔAEH`$\backsim$`ΔADC(g-g)`

`->(AE)/(AD)=(AH)/(AC)->AE.AC=AH.AD`

Mà `AF.AB=AH.AD`(cmt)

`->AE.AC=AF.AB->(AE)/(AF)=(AB)/(AC)`

Xét `ΔAEF` và `ΔABC` có:

`(AE)/(AF)=(AB)/(AC)`(cmt)

`\hat(A)` cạnh chung

`->ΔAEF`$\backsim$`ΔABC(c-g-c)`

d,

Xét `ΔFHB` và `ΔEHB` có:

`\hat(FHB)=\hat(HEC)`(2 góc đối đỉnh)

`\hat(F)=\hat(E)=90^0`

`->ΔFHB`$\backsim$`ΔEHC(g-g)`

`->(HE)/(HF)=(HC)/(HB)->HE.HB=HF.HC`