a) Xét tam giác ABS có AN, BM là các đường cao của tam giác và chúng giao nhau tại H.

SUy ra H là trực tâm của tam giác SAB.

Vậy $SH \perp AB$.

b) Xét tam giác SAN và SBM có

$\widehat{ANS} = \widehat{SMB} = 90^{\circ}$ và $\widehat{BSA}$ chung

Vậy tam giác SAN đồng dạng với tam giác SBM. Do đó

$\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{SN}{SM}$

$<-> SA.SM = SB.SN$

c) Do tam giác SAN đồng dạng với tam giác SBM nên $\widehat{SBM} = \widehat{SAN}$

Xét tam giác MNB và MPA có

$BN = PA, \widehat{SBM} = \widehat{SAN}, BM = AM$

Vậy tam giác MNB = tam giác MPA, do đó MP = MN và $\widehat{PMA} = \widehat{BMN}$

Vậy tam giác MPN cân tại M. Lại có

$\widehat{PMA} + \widehat{BMP} = 90^{\circ}$

Do đó

$\widehat{BMN} + \widehat{BMP} =90^{\circ}$

$<-> \widehat{NMP} = 90^{\circ}$
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.