a) Xét $ΔBDM$ và $ΔCEM$ có:

$\widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

$\widehat{BMD} = \widehat{CME}$ (đối đỉnh)

$BM = CM \,(gt)$

Do đó $ΔBDM=ΔCEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BD = CE$ (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có:

$ΔBDM=ΔCEM$ (câu a)

$\Rightarrow DM =ME$

Xét tứ giác $BDCE$ có:

$BM=MC\, (gt)$

$DM = ME\, (cmt)$

Do đó $BDCE$ là hình bình hành

$\Rightarrow BE//CD$

c) Ta có:

$MN\perp AC \, (gt)$

$\Rightarrow MN//AB\, (AB\perp AC)$

Ta lại có: $BM = MC$

$\Rightarrow AN = NC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{6}{2} = 3\,cm$

$\Rightarrow BN$ là trung tuyến ứng với cạnh $AC$

Ta lại có:

$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$AM$ cắt $BN$ tại $K$

$\Rightarrow K$ là trọng tâm $ΔABC$

$\Rightarrow BK = \dfrac{2}{3}BN$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABN$ vuông tại $A$ ta được:

$BN^2 = AB^2 + AN^2 = 4^2 + 3^2 = 25$

$\Rightarrow BN = \sqrt{25} = 5\, cm$

Ta được:

$BK = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2}{3}.5 = \dfrac{10}{3}\,cm$