$a)^{}$ Ta có $ΔAEC=ΔBFC^{}$ (g.g)

⇒ $\frac{CE}{CF}=$ $\frac{CA}{CB}$ 

Xét $xΔABC^{}$ và  $ΔEFC^{}$ có:

$\frac{CE}{CF}=$ $\frac{CA}{CB}$ 

$∠C^{}$ chung

⇒ $ΔABC^{}$ đồng dạng $ΔEFC^{}$ 

$b)^{}$ Vì $CN//IK^{}$ nên $HM⊥CN^{}$ 

⇒ $M^{}$ là trực tâm của $ΔHNC^{}$ 

⇒ $MN⊥CH^{}$ 

Mà $CH⊥AD^{}$ (vì $H^{}$ là trực tâm của $ΔABC^{}$)

⇒ $MN//AD^{}$ 

Mà $M^{}$ là trung điểm của $BC^{}$ (gt)

⇒ $NC=ND^{}$ 

Ta có: $\frac{IH}{DN}=$ $\frac{AH}{AN}$ (vì $IH//DN^{}$)

          $\frac{HK}{CN}=$ $\frac{AH}{AN}$ (vì $KH//CN^{}$)

⇒ $IH=HK^{}$ 

$c)^{}$ Ta có:

$\frac{AH}{HE}=$ $\frac{S_{AHC}}{S_{CHE}}=$ $\frac{S_{ABH}}{S_{BHE}}=$ $\frac{S_{AHC}+S_{ABH}}{S_{CHE}+S_{BHE}}=$ $\frac{S_{AHC}+S_{ABH}}{S_{BHC}}$

Tương tự ta có:
$\frac{BH}{BF}=$ $\frac{S_{BHC}+S_{BHA}}{S_{AHC}}$ và $\frac{CH}{CG}=$ $\frac{S_{BHC}+S_{AHC}}{S_{BHA}}$

$\frac{AH}{HE}+$ $\frac{BH}{HF}+$ $\frac{CH}{HG}=$ $\frac{S_{AHC}+S_{ABH}}{S_{BHC}}+$ $\frac{S_{BHC}+S_{BHA}}{S_{AHC}}+$ $\frac{S_{BHC}+S_{AHC}}{S_{BHA}}$

$=\frac{S_{AHC}}{S_{BHC}}+$ $\frac{S_{ABH}}{S_{BHC}}+$ $\frac{S_{BHC}}{S_{AHC}}+$ $\frac{S_{BHA}}{S_{AHC}}+$ $\frac{S_{BHC}}{S_{BHA}}+$ $\frac{S_{AHC}}{S_{BHA}}$ $\geq6$

Dấu "=" khi $ΔABC^{}$ đều, mà theo gt thì $AB<AC^{}$ 

⇒ Không xảy ra dấu bằng