a) Xét tứ giác AEMF có

$\widehat{MEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFM} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) Do $MF \perp AC$ và $AB \perp AC$ nên $MF //AB$.

Lại có M là trung điểm của AC nên MF là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó F là trung điểm AC.

Lại có N đxung vs M qua F nên F là trung điểm MN.

Xét tứ giác AMCN có F là trung điểm MN và F là trung điểm AC, do đó F là tâm đxung của tứ giác này.

Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành.

Lại có $MN \perp AC$ nên tứ giác MANC là hình thoi.

c) Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM phải là phân giác của $\widehat{BAC}$ và do đó $\widehat{MAB} = 45^{\circ}$
Lại có AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = MB và do đó tam giác MAB cân tại M, suy ra 

$\widehat{MAB} = \widehat{MBA} = 45^{\circ}$
Vậy tam giác ABC cân tại A.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: