Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)m =  - 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x = 3;x =  - 1\\
Vậy\,x = 3;x =  - 1\,khi:m =  - 1\\
 + Khi:m = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\\
 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 ;x = 1 - \sqrt 2 \\
Vậy\,x = 1 + \sqrt 2 ;x = 1 - \sqrt 2 \\
2)\Delta ' = 0\\
 \Leftrightarrow 1 - 2m + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 2m = 2\\
 \Leftrightarrow m = 1\\
Khi:m = 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 1\\
Vậy\,m = 1;x = 1\\
3)\Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow 1 - 2m + 1 > 0\\
 \Leftrightarrow 2m < 2\\
 \Leftrightarrow m < 1\\
Vậy\,m < 1\\
4)\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
a.c > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
1.\left( {2m - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
2m > 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 1\\
m > \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m \le 1\\
Vậy\,\dfrac{1}{2} < m \le 1\\
5)\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
a.c > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
1.\left( {2m - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
2m > 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m > \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 1\\
Vậy\,\dfrac{1}{2} < m < 1\\
6)x = 1\\
 \Leftrightarrow {1^2} - 2.1 + 2m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 1 - 2 + 2m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 2m = 2\\
 \Leftrightarrow m = 1
\end{array}$

Vậy m=1 và phương trình có nghiệm kép $x = 1$ nên ko có nghiệm thứ hai