Đáp án:

1) $x+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-1}$ có nghiệm x=2

2) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$ có nghiệm $x=2+\sqrt2$

3) $x^2 - 1 = \sqrt{x+1}$ có nghiệm $x = -1$ và $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

4) $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$ có nghiệm $x=-1$

Lời giải:

1) $x+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x-1}$

Đk: $x\ge 2$

Do 2 vế của phương trình đã có đều lớn hơn 0, bình phương hai vế phương trình tương đương:

$x^2+2\sqrt{x-2}+x-2=4(x-1)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}=-x^2+3x-2$

$VT\ge0$ $\forall x\ge2$

$VP=-(x-1)(x-2)$

Ta có bảng xét dấu như hình vẽ, từ đó suy ra $VP\le0$ $\forall x\ge2$

Từ đó suy ra $VT=VP=0\Rightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm x=2

 

2) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$ Đk: $x\ge\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x^2=2x-1+2\sqrt{2x-1}+1$

$\Leftrightarrow x^2=(\sqrt{2x-1}+1)^2$

$\Rightarrow $ hoặc $x=-(\sqrt{2x-1}+1)$ (loại) do $VT\ge\dfrac{1}{2}$, $VP<0$

Hoặc $x=\sqrt{2x-1}+1\Leftrightarrow x-1=\sqrt{2x-1}$ $(x\ge1)$

$\Rightarrow x^2-2x+1=2x-1$

$\Leftrightarrow x^2-4x+2=0$

$\Leftrightarrow x=2+\sqrt2$ (tm) hoặc $x=2-\sqrt 2<1$ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm $x=2+\sqrt2$

 

3) Xét phương trình: $x^2 - 1 = \sqrt{x+1}$

ĐK: $x \geq -1$ và $-1 \leq x$ hoặc $x \geq 1$.

Phương trình tương đương với

$(x-1)(x+1) = \sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}[(x-1) \sqrt{x+1} -1] = 0$

$\Leftrightarrow  x=-1$ hoặc $(x-1)\sqrt{x+1} = 1$

Xét phương trình $(x-1)\sqrt{x+1} = 1$, bình phương 2 vế ta suy ra:

$(x^2 - 2x + 1) (x+1) = 1$

$\Leftrightarrow x^3 -x^2 -x = 0$

$\Leftrightarrow  x(x^2 - x -1) = 0$

$\Leftrightarrow  x = 0$ hoặc $x^2 - x -1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Ta thấy $x=0$ và $x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} >1$ nên ko thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$ hoặc $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

 

4) $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$

Đk: $2x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{-3}{2}$

Bình phương 2 vế phương trình đã cho ta suy ra:

$x^4+16x^2+25+4x^3+10x^2+40x=4(2x+4)$

$\Leftrightarrow x^4+4x^3+26x^2+32x+13=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

$\Leftrightarrow x=-1$  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=-1$