a,Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông là $A,D,E$ nên $ADME$ là hình chữ nhật

b,Do $ME \perp AC$ mà $AB\perp AC$ nên $ME//AB$

Mặt khác M là trung điểm BC nên $ME$ là đường trung bình trong $\Delta  ABC$

Suy ra E là trung điểm AC

Chứng minh tương tự, D là trung điểm AB

DM là đường trung bình trong tam giác ABC nên DM//AC hay DM//EC và DM=1/2AC=EC

Do đó $\Diamond CMDE$ là hình bình hành

c,DE là đường trung bình trong tam giác ABC nên DE//BC hay DE//HM.   HM<DE

Suy ra $HMED$ là hình thang

$ADME$ là hình chữ nhật  nên $ME=AD=\dfrac{1}{2}AB$

Tam giác ABH vuông tại H, có trung tuyến HD nên $HD=\dfrac{1}{2}AB$

Suy ra HD=ME

Do đó $ MHDE$ là hình thang cân

d.Vì $AK//DH\rightarrow\widehat{KAH}=\widehat{AHD}=\widehat{DAH}$

$\rightarrow AH$ là phân giác $\widehat{DAK}$

Mà $AH\perp DK\rightarrow \Delta ADK$ cân tại A

$\rightarrow AK=AD=DH\rightarrow\Diamond ADHK$ là hình bình hành

$\rightarrow HK//AD\rightarrow HK\perp AC$