Giải thích các bước giải:

 a,

Ta có:

\[\begin{array}{l}
A = {n^3} + 2013{n^2} + 2n\\
 = \left( {{n^3} + 3{n^2} + 2n} \right) + 2010{n^2}\\
 = n\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) + 2010{n^2}\\
 = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2010{n^2}\\
2010{n^2} \vdots 6
\end{array}\]

n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Do đó n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Suy ra A chia hết cho 6

b,

Ta có:

\[\begin{array}{l}
A = {n^2} + 10n + 136 = \left( {{n^2} + 10n + 25} \right) + 111\\
 = {\left( {n + 5} \right)^2} + 111
\end{array}\]

Giả sử A là số chính phương, ta đặt:

\[\begin{array}{l}
A = {k^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {n + 5} \right)^2} + 111 = {k^2}\\
 \Leftrightarrow {k^2} - {\left( {n + 5} \right)^2} = 111\\
 \Leftrightarrow \left( {k + n + 5} \right)\left( {k - n - 5} \right) = 3.37 = 1.111\\
k + n + 5 > k - n - 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
k + n + 5 = 111\\
k - n - 5 = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k + n + 5 = 37\\
k - n - 5 = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
k = 56\\
n = 50
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k = 20\\
n = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\]

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a,

Ta có:

$$\begin{array}{c}A=n^3+2013n^2+2n\\ =\left(n^3+3n^2+2n\right)+2010n^2\\ =n\left(n^2+3n+2\right)+2010n^2\\ =n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\\ 2010n^2⋮6\end{array}$$

n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Do đó n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Suy ra A chia hết cho 6

b,

Ta có:

$$\begin{array}{c}A=n^2+10n+136=\left(n^2+10n+25\right)+111\\ ={\left(n+5\right)}^2+111\end{array}$$

Giả sử A là số chính phương, ta đặt:

$$\begin{array}{c}A=k^2\\ \iff {\left(n+5\right)}^2+111=k^2\\ \iff k^2-{\left(n+5\right)}^2=111\\ \iff \left(k+n+5\right)\left(k-n-5\right)=3.37=1.111\\ k+n+5>k-n-5\Rightarrow [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}k+n+5=111\\ k-n-5=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}k+n+5=37\\ k-n-5=3\end{array}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}k=56\\ n=50\end{array}\\ \{\begin{array}{c}k=20\\ n=12\end{array}\end{array}\end{array}$$