2n + 1 là số chính phương lẻ ⇒ 2n + 1 ≡ 1 (mod 8)

⇒ 2n ≡ 0

⇒ 2n ⋮ 8 

⇒ n ⋮ 4 ⇒ n chẵn

3n + 1 là số chính phương lẻ ⇒ 3n + 1 ≡ 1 (mod 8)

⇒ 3n ⋮ 8 mà (3 , 8) = 1

⇒ n ⋮ 8 (1)

Đặt 3n + 1 = a^2 ; 2n + 1 = b^2

⇒ a^2 + b^2 = 5n + 2 ≡ 2 (mod 5)

Mà a^2 ≡ 0 , 1 , 4 (mod 5)

      b^2 ≡ 0 , 1, 4 (mod 5)

⇒ a^2 ≡ b^2 ≡ 1 (mod 5)

⇒ 2n + 1 ≡ 1 (mod 5)

⇒ 2n ⋮ 5 ⇔ n ⋮ 5 (2)

Từ (1) và (2) mà (5 ; 8) = 1

Vậy n ⋮ 40

 

$2n+1$ $=$ $a^2$ $(1)$

$3n+1$ $=$ $b^2$ $(2)$

Từ $(1)$ ⇒ $a$ lẻ

Đặt $a=2k+1$ 

⇒ $2n+1$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$

$n$ $=$ $2k^2$ $+$ $2k$

⇒ $n$ chẵn

⇒ $3n+1$ lẻ

Từ (2) 

⇒ $b$ lẻ

Đặt $b=2p+1$

$(1)+(2)$ ta có :

$5n+2$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$ $+$ $4p^2$ $+$ $4p+1$

⇒ $5n=4k(k+1)+4p(p+1)$

Suy ra $5n$ $\vdots$ $8$

⇒ $n$ $\vdots$ $8$

Ta cần chứng minh $n$ $\vdots$ $5$

Số chính phương có các tận cùng là : $0,1,4,5,6,9$

Lần lượt xét các trường hợp $n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4$

Tất cả đều KTM $2n+1, 3n+1$ là số chính phương. Vậy $n$ $\vdots$ $5$

Mà $5$ và $8$ nguyên tố cùng nhau, nên $n$ $\vdots$ $40$

⇒ $ĐPCM$

XIn hay nhất nha !