ĐK: $x, y \geq 9$

Từ đk ta có

$3xy \left( \dfrac{\sqrt{y-9}}{y} + \dfrac{\sqrt{x-9}}{x} \right) -xy = 0$

$<-> xy \left( 3\dfrac{\sqrt{y-9}}{y} + \dfrac{\sqrt{x-9}}{x} -1\right) = 0$

Vậy $x = 0$ hoặc $y = 0$ hoặc

$3\dfrac{\sqrt{y-9}}{y} + \dfrac{\sqrt{x-9}}{x} = 1$

Xét hàm số $y = \dfrac{\sqrt{t-9}}{t}$

Khi đó, ptrinh đã cho bằng với

$4 \dfrac{\sqrt{t-9}}{t} = 1$

$<-> \dfrac{\sqrt{t-9}}{t} = \dfrac{1}{4}$

$<-> 4\sqrt{t-9} = t$

$<-> 16(t-9) = t^2$

$<-> t^2 -16t + 144 = 0$

Đáp án:

$S= 0$

Giải thích các bước giải:

$ĐKXĐ: \,\begin{cases}x \geq 9\\y \geq 9\end{cases} \to \begin{cases}x - 9 \geq 0\\y - 9 \geq 0\end{cases}$

Ta có:

$\begin{array}{l}3(x\sqrt{y - 9} + y\sqrt{x - 9})\\ = 3x\sqrt{y - 9} + 3y\sqrt{x-9}\\ = \sqrt{9x}.\sqrt{xy - 9x} + \sqrt{9y}.\sqrt{xy - 9y}\\ \text{Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được:}\\ +) \quad \sqrt{9x}.\sqrt{xy - 9x} \leq \dfrac{9x + xy - 9x}{2} = \dfrac{xy}{2}\\ +) \quad \sqrt{9y}.\sqrt{xy - 9y} \leq \dfrac{9y + xy - 9y}{2} = \dfrac{xy}{2}\\ Do\,\,đó:\\ \sqrt{9x}.\sqrt{xy - 9x} + \sqrt{9y}.\sqrt{xy - 9y}\leq \dfrac{xy}{2} + \dfrac{xy}{2}\\ \Leftrightarrow 3(x\sqrt{y - 9} + y\sqrt{x - 9}) \leq xy\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}\sqrt{9x} = \sqrt{xy - 9x}\\\sqrt{9y} = \sqrt{xy - 9y}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}9x = xy - 9x\\9y = xy - 9y\end{cases}\\ \text{Ta lại có:}\\ 3(x\sqrt{y - 9} + y\sqrt{x - 9}) = xy\\ Do\,\,đó:\\ \begin{cases}9x = xy - 9x\\9y = xy - 9y\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x(y-18)=0\\y(x-18)=0\end{cases}\Leftrightarrow x = y = 18\quad (Do\,x,y\geq 9)\\ \text{Ta được:}\\ S= (x-17)^{2018} + (y-19)^{2019}\\ \to S = (18 - 17)^{2018} + (18 - 19)^{2019}\\ \to S = 1^{2018} + (-1)^{2019} = 0 \end{array}$