$(I)$ $\begin{cases}x+2y=5(1)\\mx+y=4(2)\end{cases}$

Từ (2) ⇒ $y=4-mx$ (*)

Thay (*) vào (1) ta được:

$x+2(4-mx)=5$

$⇔x+8-2mx=5$

$⇔x-2mx=5-8$

$⇔x(1-2m)=-3$ (3)

Để hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất

$⇔$ Phương trình (3) có nghiệm duy nhất

$⇔1-2m\neq0$

$⇔2m\neq1$

$⇔m\neq\dfrac{1}{2}$

Từ (3) ⇒ $x=\dfrac{-3}{1-2m}$

Thay $x=\dfrac{-3}{1-2m}$ vào (*) ta được:

$y=4-m.\dfrac{-3}{1-2m}$

$y=4+\dfrac{3}{1-2m}$

$y=\dfrac{4-8m+3}{1-2m}$

$y=\dfrac{7-8m}{1-2m}$

⇒ Hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất $\begin{cases}x=\dfrac{-3}{1-2m}\\y=\dfrac{7-8m}{1-2m}\end{cases}$

Để x, y nguyên

$⇔\begin{cases}\dfrac{-3}{1-2m}nguyen\\\dfrac{7-8m}{1-2m}nguyen\end{cases}$

* $\dfrac{-3}{1-2m}$ nguyên

$⇔1-2m\inƯ(-3)=\{\pm1;\pm3\}$

Ta có bảng:

1 - 2m          1          -1          3          -3

   m               0           1          -1          2

⇒ Thỏa mãn điều kiện $m\neq\dfrac{1}{2}$

* $\dfrac{7-8m}{1-2m}$ nguyên

$⇔\dfrac{4(1-2m)+3}{1-2m}=4+\dfrac{3}{1-2m}$ nguyên

$⇔1-2m\inƯ(3)=\{\pm1;\pm3\}$

Ta có bảng:

1 - 2m          1          -1          3          -3

   m               0           1          -1          2

⇒ Thỏa mãn điều kiện $m\neq\dfrac{1}{2}$

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x, y nguyên thì $m\in\{0;\pm1;2\}$.

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: