Đáp án:

\(k = \frac{1}{9}\)

Giải thích các bước giải:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

\( \leftrightarrow \overrightarrow {MA}  =  - \overrightarrow {MB} \)

-> M là trung điểm AB -> \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{2}\)

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {NA}  + 3\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \\
 \leftrightarrow \overrightarrow {NA}  = \frac{{ - 3}}{2}\overrightarrow {NC} 
\end{array}\)

-> N thuộc AC -> \(NA = \frac{3}{2}NC \to NA = \frac{3}{5}AC \to \overrightarrow {AN}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
 \leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
\overrightarrow {BC}  = k\overrightarrow {BP}  \leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = k(\overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AB} )\\
 \to \overrightarrow {AP}  = \frac{{ - \overrightarrow {AC} }}{k} + \frac{{(1 - k)}}{k}\overrightarrow {AB} \\
\overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{{ - \overrightarrow {AC} }}{k} + \frac{{(1 - k)}}{k}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
 \leftrightarrow \overrightarrow {MP}  = \frac{{ - \overrightarrow {AC} }}{k} + \frac{{(2 - 3k)}}{{2k}}\overrightarrow {AB} 
\end{array}\)

Vì M,N,P thẳng hàng -> \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương

-> \(\frac{{\frac{{ - 1}}{k}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{\frac{{(2 - 3k)}}{{2k}}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} \leftrightarrow k = \frac{1}{9}\)