Để `D ∈ Z` thì `6x - 5 vdots 4x + 1`

Ta có `: 6x - 5 vdots 4x + 1`

           `4x + 1 vdots 4x + 1`

`⇒ 4 . ( 6x - 5 ) vdots 4x + 1`

     `6 . ( 4x + 1 ) vdots 4x + 1`

`⇒ 24x - 20 vdots 4x + 1`

     `24x + 6 vdots 4x + 1`

`⇒ ( 24x + 6 ) - ( 24x - 20 ) vdots 4x + 1`

`⇒ 26 vdots 4x + 1`

`⇒ 4x + 1 ∈ Ư( 1 ; 2 ; 13 ; 26 ; - 1 ; - 2 ; - 13 ; - 26 }`

`⇒ x ∈ { 0 ; 1/4 ; 3 ; 25/4 ; - 1/2 ; - 3/4 ; - 7/2 ; - 27/4 }`

Mà `x ∈ Z ⇒ x ∈ { 0 ; 3 }`

Vậy `, x ∈ { 0 ; 3 }`

________________________________________________________

Để `E ∈ Z` thì `2x - 3 vdots 3x + 1`

Ta có `: 2x - 3 vdots 3x + 1`

           `3x + 1 vdots 3x + 1`

`⇒ 3 . ( 2x - 3 ) vdots 3x + 1`

     `2 . ( 3x + 1 ) vdots 3x + 1`

`⇒ 6x - 9 vdots 3x + 1`

     `6x + 2 vdots 3x + 1`

`⇒ ( 6x + 2 ) - ( 6x - 9 ) vdots 3x + 1`

`⇒ 11 vdots 3x + 1`

`⇒ 3x + 1 ∈ Ư( 11 ) = { 1 ; 11 ; - 1 ; - 11 }`

`⇒ x ∈ { 0 ; 10/3 ; - 2/3 ; - 4 }`

Mà `x ∈ Z ⇒ x ∈ { 0 ; - 4 }`

Vậy `; x ∈ { 0 ; - 4 }`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Để `D= (6x-5)/(4x+1) \in ZZ`

`-> 6x -5 \vdots 4x+1`

`-> (4x+1)+(2x-6) \vdots 4x+1`

Vì `4x+1 \vdots 4x+1`

`-> 2x-6 \vdots 4x+1`

`-> 2(2x-6) =4x -12 \vdots 4x+1`

`-> (4x+1)-13 \vdots 4x+1`

Vì `(4x+1 ) \vdots (4x+1) -> 13 \vdots 4x+1`

`-> 4x+1 \in Ư(13) ={\pm 1; \pm 13}`

`-> 4x \in {0 ; -2 ; 12 ; -14}` 

`-> x \in {0 ; -1/2 ;3 ;  -7/2}`

Mà `x \in ZZ -> x \in {0 ; 3}`

Vậy `x \in {0 ; 3} <=> D \in ZZ`

$\\$
Để `E =(2x-3)/(3x+1) \in ZZ`

`-> 2x -3 \vdots 3x+1`

`-> (3x+1) - (x+4) \vdots 3x+1`

Vì `(3x+1) \vdots (3x+1)`

`-> x+4 \vdots 3x+1`

`-> 3x+12 \vdots 3x+1`

`-> (3x+1)+11 \vdots 3x+1`

Vì `(3x+1) \vdots (3x+1) -> 11 \vdots 3x+1`

`-> 3x+1 \in Ư(11)={\pm1 ; \pm 11}`

`-> 3x \in {0 ; -2 ; 10 ; -12}`

`-> x \in {0 ; -2/3 ; 10/3 ; -4}`

Mà `x \in ZZ -> x \in {0 ; -4}`

Vậy `x \in {0 ; -4}<=> E \in ZZ`