Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$

$\to\widehat{KHB}=\widehat{KCB}=90^o$

$\to BHKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK$

2.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to MA\perp MB$

Mà $MH\perp AB$

$\to AM^2=AH\cdot AB$

Xét $\Delta AHK,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AHK}=\widehat{ACB}(=90^o)$

$\to\Delta AHK\sim\Delta ACB(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AK}{AB}$

$\to AH\cdot AB=AK\cdot AC$

$\to AK\cdot AC=AM^2$

3.Xét $\Delta AIE,\Delta ACB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIE}=\widehat{ACB}(=90^o)$

$\to\Delta AIE\sim\Delta ACB(g.g)$

$\to\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$

$\to AE\cdot AC=AI\cdot AB$

Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to MB\perp AM$

Xét $\Delta BIE,\Delta BMA$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BIE}=\widehat{BMA}(=90^o)$

$\to\Delta BIE\sim\Delta BMA(g.g)$

$\to\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{BE}{BA}$

$\to BI\cdot BA=BE\cdot BM$

$\to AE\cdot AC+BE\cdot BM=AI\cdot AB+BI\cdot AB=(AI+BI)\cdot AB=AB\cdot AB=AB^2$ không đổi khi $M$ di chuyển trên cung $AC$

4.Ta có:

$\widehat{AME}=\widehat{AIE}=90^o\to AMEI$ nội tiếp

$\to \widehat{EMI}=\widehat{EAI}=\widehat{CAB}=\widehat{CMB}$

$\to MB$ là phân giác $\widehat{CMI}$

$\to \widehat{COB}=2\widehat{CAB}=2\widehat{EAI}=2\widehat{EMI}=\widehat{CMI}$

$\to COIM$ nội tiếp

$\to $Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIC$ đi qua $C, O$ cố định