Gọi giao điểm của phân giác góc $xOy$ cắt MN tại $P$. Từ $P$ kẻ $PQ$ song song với $Oy$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {QPO} = \widehat {PON}(slt),\widehat {PON} = \widehat {QOP}\\
 \Rightarrow \widehat {QPO} = \widehat {QOP}
\end{array}$

Từ đó suy ra $\Delta OQP$ cân tại $Q$. Từ đó ta suy ra $QP=QO=a$ với $a$ là một giá trị chưa biết

Theo định lý Thales ta được:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{QP}}{{ON}} = \dfrac{{MQ}}{{MO}} \Rightarrow \dfrac{a}{{ON}} = \dfrac{{OM - a}}{{MO}}\\
 \Rightarrow \dfrac{a}{{ON}} + \dfrac{a}{{OM}} = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{OM}} + \dfrac{1}{{ON}} = \dfrac{1}{a}
\end{array}$

Theo giả thiết ta có `1/(OM)+1/(ON)=(2012)/(2013)` nên ta có $a=\dfrac{2013}{2012}$

Từ đó ta có $OQ=\dfrac{2013}{2012}$ mà $O$ cố định nên $Q$ cố định. Suy ra $P$ cố định.