Giải thích các bước giải:

Câu 1: 

Gọi I là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Theo giả thiết ta có: 

$\eqalign{
  & 2\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|  \cr 
  &  \Leftrightarrow 2\left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|  \cr 
  &  \Leftrightarrow MG = MI \cr} $

Vậy M thuộc đường trung trực cỉa IG.

Câu 2: 

Gọi I là điểm thỏa mãn $4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 $

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: 

$3\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {{\rm{IG}}}  = \overrightarrow 0 $

Suy ra: I là trung điểm của AG

Khi đó ta có: 

$\eqalign{
  & \left| {6\overrightarrow {NI}  + 4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NC} } \right|  \cr 
  &  \Leftrightarrow 6NI = \left| {3\overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {NG} } \right| = \left| {3\overrightarrow {GA} } \right| = 3AG  \cr 
  &  \Leftrightarrow IN = {1 \over 2}AG \cr} $

Vì I là trung điểm của AG nên N thuộc đường tròn tâm I, đường kính AG