Từ 1 đến 9 có số chữ số là

$(9-1+1) \times 1 = 9$ (chữ số)

Tổng các chữ số từ 1 đến 9 là

$1 + 2 + \cdots + 9 = 45$

Từ 10 đến 99 có số chữ số là

$(99-10+1) \times 2 = 180$ (chữ số)

Trong 180 chữ số này, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 18 lần trong A. Vậy tổng các chữ số từ 10 đến 99 là

$(0 + 1 + 2 + \cdots + 9) \times 18 = 810$

Từ 100 đến 999 có số chữ số là

$(999 - 100 + 1) \times 3 = 2700$ (chữ số)

Trong 2700 chữ số này, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 270 lần trong A. Vậy tổng các chữ số từ 100 đến 999 là

$(0 + 1 + \cdots + 9) \times 270 = 12150$

Từ 1000 đến 2000 ta thấy chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng nghìn là 1000 lần.

Các số từ 0 đến 9 xuất hiện ở các vị trí còn lại là

$(999-000 + 1) : 10 = 100$

Vậy tổng các chữ số từ 1000 đến 2000 là

$(0 + 1 + \cdots + 9) \times 100 + 1000= 5500$

Tổng các chữ số từ 2000 đến 2009 là

$2 \times 10 + 1 + \cdots + 9 = 65$

Vậy tổng các chữ số của A là

$45 + 810 + 12150 + 5500 + 65 = 18570$