Bài này ta sử dụng bổ đề :

Đường thẳng nối giữa trung điểm 2 cạnh của `\triangle`

Thì sẽ $//$ và `=1/2` cạnh thứ 3 của `\triangle` còn lại.

Ta chứng minh bổ đề trên :

Giả sử `\triangle ABC` có `M,N` là trung điểm của `AB,AC`

Trên tia đối của `NM` lấy `H` sao cho `NM=NH`

Do đó chứng minh được : `\triangle ANM=\triangle CNH` (c.g.c)

`-> AM=CH,hat{NAM}=hat{NCH}` $\to AB//CH$

`AM=BM` (gt), `AM=CH` (cmt)

`->BM=CH`

`\triangle MBH` và `\triangle CHB` có :

`BH` chung, $BM=CH$ (cmt),`hat{MBH}=hat{CHB}` ($BM//CH$)

`->\triangle MBH=\triangle CHB` (c.g.c)

`->MH=BC` và `hat{MHB}=hat{CBH}` (2 cạnh tương ứng và 2 góc tương ứng)

`MH=BC` (cmt) mà `MN=1/2 MH`

`->MN=1/2 BC`

`hat{MHB}=hat{CBH}` (cmt) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$\to MN//BC$

Vậy bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài :

Trên tia đối của `CA` lấy `H` sao cho `MN=CH`

Gọi `V` là trung điểm của `AC`

Kẻ `NK\bot AC`

`\triangle ABC` có : `M,N` là trung điểm của `AB,AC` (gt)

`->MN` $//AC$ và `MN=1/2 AC`

`\triangle MNC` và `\triangle HCN` có :

`hat{MNC}=hat{HCN}` ($MN//AC$), `NC` chung, `MN=CH` 

`-> \triangle MNC=\triangle HCN` (c.g.c)

`-> HN=CM` (2 cạnh tương ứng) 

`\triangle ABC` có : `V,N` là trung điểm của `AC,BC`

`->`$VN//AB$ và `VN=1/2 AB`

Mà `CN=1/2 BC` (gt) lại có `AB <AC`

`-> VN < CN`

`MN=1/2 AC` (cmt) mà `AV=1/2 AC`

`->MN=AV` mà `MN=CH`

`-> AV=CH`

Theo Pytago có : `NK^2 + VK^2=NV^2, NK^2 +CK^2=CN^2`

`-> VK < CK`

`->VK + AV < CK + CH`

`-> AK < HK`

Theo Pytago có : `AK^2 + NK^2=AN^2, HK^2 +BK^2=NH^2`

`-> AN < NH` mà `NH=CM` (cmt)

`->AN<CM`