1,

`hat{ABC}+hat{ABD}=180^o` (Kề bù)

`hat{ACB}+hat{ACE}=180^o` (Kề bù)

Mà `hat{ABC}=hat{ACB}` (gt)

`->hat{ABD}=hat{ACE}`

`\triangle ABD` và `\triangle ACE` có :

`AB=AC` (gt)

`BD=CE` (gt)

`hat{ABD}=hat{ACE}` (cmt)

`->\triangle ABD=\triangle ACE` (c.g.c)

`->AD=AE` (2 cạnh tương ứng)

`->\triangle ADE` cân tại `A`

2,

`\triangle ADE` cân tại `A` (cmt)

`->hat{D}=hat{E}`

`\triangle BHD` và `\triangle CKE` có :

`hat{BHD}=hat{CKE}=90^o` (gt)

`BD=CE` (gt)

`hat{D}=hat{E}` (cmt)

`->\triangle BHD=\triangle CKE` (ch-gn)

`->BH=CK` (2 cạnh tương ứng)

3,

`\triangle BHD=\triangle CKE` (cmt)

`->DH=EK` (2 cạnh tương ứng)

`AH+DH=AD, AK+KE=AE`

Mà `DH=EK` (cmt), `AD=AE` (cmt)

`->AH=AK`

4,

`AH=AK` (cmt)

`->\triangle AHK` cân tại `A`

`->hat{AHK}=(180^o-hat{DAE})/2(1)`

`\triangle ADE` cân tại `A` (cmt)

`->hat{ADE}=(180^o-hat{DAE})/2(2)`

`(1)(2)->hat{AHK}=hat{ADE}`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\to HK//DE$

5,

`\triangle ABH` và `\triangle ACK` có :

`hat{AHB}=hat{AKC}=90^o` (gt)

`AB=AC` (gt)

`AH=AK` (cmt)

`->\triangle ABH=\triangle ACK` (ch-cgv)

`-> hat{ABH}=hat{ACK}` (2 góc tương ứng)

`hat{ABH}+hat{ABC}+hat{OBC}=180^o`

`hat{ACK}+hat{ACB}+hat{OCB}=180^o`

Mà `hat{ABH}=hat{ACK}` (cmt), `hat{ABC}=hat{ACB}` (gt)

`->hat{OBC}=hat{OCB}`

`->\triangle BOC` cân tại `O`

6,

`\triangle ABC` cân tại `A` (gt)

`->AB=AC`

`->A` nằm trên đường trung trực của `BC(3)`

`I` là trung điểm của `BC` (gt)

`->BI=CI`

`->I` nằm trên đường trung trực của `BC(4)`

`\triangle OBC` cân tại `O` (cmt)

`->OB=OC`

`->O` nằm trên đường trung trực của `BC(5)`

`(3)(4)(5)-> A,I,O` thẳng hàng.