Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Gọi $F $ là trung điểm $MO$

$\Delta OCM$ vuông tại $C$, trung tuyến $CF$

$\Rightarrow \Rightarrow CF=\dfrac{MO}{2} =MF=OF(1)$

$\Delta OAB$ cân tại $O (OA=OB)$, trung tuyến $OE$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow OE \perp AB$

$\Delta OEM$ vuông tại $E$, trung tuyến $EF$

$\Rightarrow EF=\dfrac{MO}{2} =MF=OF(2)$

$\Delta ODM$ vuông tại $D$, trung tuyến $DF$

$\Rightarrow \Rightarrow DF=\dfrac{MO}{2} =MF=OF(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow CF=EF=DF=MF=OF$

$\Rightarrow C,E,D,M,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $F$, đường kính $OF$

$b)$Xét $ \Delta MBC$ và $\Delta MCA$

$\widehat{M_1}:$ chung

$\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (góc tạo bời tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung)

$\Rightarrow \Delta MBC \backsim \Delta MCA\\ \Rightarrow \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MC}{MA}\\ \Rightarrow MA.MB=MC^2(*)$

Xét $\Delta MID$ và $\Delta MDO$

$\widehat{M_2}:$ chung

$\widehat{I_1}=\widehat{MDO}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta MID \backsim \Delta MDO\\ \Rightarrow \dfrac{MI}{MD}=\dfrac{MD}{MO}\\ \Rightarrow MI.MO=MD^2(**)$

$MC,MD$ là hai tiếp tuyến của $(O), MC \cap MD=M$

$\Rightarrow MC=MD(***)$

$(*);(**);(***) \Rightarrow MA.MB=MI.MO$

$c)MC,MD$ là hai tiếp tuyến của $(O), MC \cap MD=M$

$\Rightarrow MO$ là phân giác $\widehat{GMH}$

$\Rightarrow \widehat{GMO}= \widehat{HMO}$

Xét $\Delta GMO$ và $\Delta HMO$

$MO:$ chung

$\widehat{GOM}= \widehat{HOM}=90^\circ\\ \widehat{GMO}= \widehat{HMO}\\ \Rightarrow \Delta GMO = \Delta HMO\\ S_{MGH}=S_{GMO}+S_{HMO}\\ =2S_{GMO}\\ =2.\dfrac{1}{2}OC.GM\\ =R.GM\\ =R(CG+CM)$

$\Delta GOM$ vuông tại $O$, đường cao $OC$

$\Rightarrow CG.CM=OC^2=R^2$

$S_{MGH}=R(CG+CM) \ge R.2\sqrt{CG.CM}=2R^2$ (Cauchy)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow CG=CM=R$

$\Rightarrow \Delta OCM$ vuông cân tại $C$

$\Rightarrow MO=\sqrt{OC^2+CM^2}=\sqrt{2}R$

$\Rightarrow M$ là điểm thuộc $d$ cách $O$ một khoảng bằng $\sqrt{2}R.$