Giải thích các bước giải:

a,

Xét hai tam giác AMC và EMB  có:

\(AM = ME\)   (theo giả thiết)

\(\widehat {AMC} = \widehat {BME}\)   (hai góc ở vị trí đối đỉnh)

\(CM = BM\)   (do M là trung điểm BC)

Suy ra ΔAMC=ΔEMB (c.g.c)

b,

Từ phần a suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {MBE}\)  (hai góc tương ứng)

Mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên AC//BE

c,

Từ phần a suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\)  (hai góc tương ứng)

Suy ra ΔIAM=ΔKEM(c.g.c)

Do đó \[\begin{array}{l}
\widehat {AMI} = \widehat {KME}\\
 \Leftrightarrow \widehat {AMI} + \widehat {IME} = \widehat {IME} + \widehat {KME}\\
 \Leftrightarrow \widehat {IMK} = 180^\circ 
\end{array}\]

Suy ra I,M,K thẳng hàng

$\text{a) Xét ΔAMC và ΔEMB có:}$

$\text{AM = EM (gt)}$

$\widehat{AMC}$ = $\widehat{EMB}$ $\text{(đối đỉnh)}$

$\text{MC = MB (M trung điểm BC)}$

⇒ $\text{ΔAMC = ΔEMB (c.g.c) (1)}$

 $\text{b) Từ (1) ⇒$\widehat{MBE}$ = $\widehat{MCA}$ (2 góc tương ứng)}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}$

⇒ $\text{AC // BE (DHNB)}$

$\text{c) Xét ΔAMI và ΔEMK có:}$

$\text{AM = EM (gt)}$

$\text{Từ (1)}$ ⇒ $\widehat{IAM}$ = $\widehat{KEM}$ $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{AI = EK (gt)}$

⇒ $\text{ΔAMI = ΔEMK (c.g.c) (2)}$

$\text{* Cách 1:}$

$\text{Từ (2) ⇒ IM = MK (2 cạnh tương ứng)}$

⇒ $\text{M là trung điểm IK}$

⇒ $\text{M ∈ IK}$

⇒ $\text{I, M, K thẳng hàng}$

$\text{* Cách 2:}$

$\text{Từ (2) ⇒ $\widehat{AMI}$ = $\widehat{EMK}$ (2 góc tương ứng)}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh}$

⇒ $\text{I, M, K thẳng hàng}$