Đáp án:

a) Tứ giác AMHN là hình thoi

b) Tứ giác AKBH là hình chữ nhật

c) $S_{AMHN}=\dfrac{5\sqrt{119}}{2}cm^2, S_{AKBH}=5\sqrt{119}cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ cân tại A, đường cao AH (gt)

$\to$ AH đồng thời là đường trung tuyến

$\to BH=HC$

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của BC (cmt)

$\to$ MH là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MH//AC, MH=\dfrac{1}{2}AC$

Xét tứ giác AMHN:

$MH//AN\,\,\,(MH//AC)\\MH=AN\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác AMHN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta có: $AB=AC$ (gt)

$\to AM=MB=AN=NC$

$\to$ Tứ giác AMHN là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

b)

Xét tứ giác AKBH:

M là trung điểm của AB (gt)

M là trung điểm của KH (gt)

$\to$ Tứ giác AKBH là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $AH\bot BC$ (gt)

$\to AH\bot BH$

$\to$ Tứ giác AKBH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

c)

Ta có: $BH=HC=\dfrac{1}{2}BC=5(cm)$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$AH^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}(cm)$

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

N là trung điểm của AC (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN=\dfrac{1}{2}BC=5(cm)\\\to S_{AMHN}=\dfrac{1}{2}.AH.MN=\dfrac{1}{2}.\sqrt{119}.5=\dfrac{5\sqrt{119}}{2}(cm^2)\\\to S_{AKBH}=AH.HB=5\sqrt{119}(cm^2)$