Giải thích các bước giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm BC

$\Rightarrow $ AH$ \bot $BC

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân, nên O thuộc đường trung trực của $BC$

AH là đường trung trực của BC nên AH đi qua O nên $A,O,H$ thẳng hàng và OA$ \bot $AE

$\Rightarrow $ AE//BC

b) Vì AE//BC nên theo định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{DC}}$

Mà D là trung điểm AC $\Rightarrow$ AD=CD 

$\Rightarrow $ AE=BC

Mà AE//BC (cmt)

$\Rightarrow$ tứ giác AECB là hình bình hành

c) $AO$ cắt $(O)$ tại J $\Rightarrow \widehat{ACJ}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Delta ACJ$ có: O là trung điểm của $AJ$, D là trung điểm của AC

nên $OD $ là đường trung bình của $\Delta ACJ$

$\Rightarrow OD//CJ\Rightarrow \widehat{ADO}=\widehat{ACJ}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{ADO}=90^o$

Xét tứ giác OHCD có:

$\widehat{ ODC}+\widehat{OHC}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow O,H,C,D$ thuộc đường tròn đưòng kính (OC) (đpcm)