Giải thích các bước giải:

a.Vì M là trung điểm BC$\to MB=MC=\dfrac12a$ 

Ta có : $\Delta ABC$ đều 
$\to \widehat{DME}=\widehat{MCE}(=60^o)$

$\to\widehat{BMD}+\widehat{EMC}=\widehat{EMC}+\widehat{MEC}(=120^o)$

$\to\widehat{DMB}=\widehat{MEC}$

Mà $\widehat{DBM}=\widehat{ECM}=60^o)
$\to \Delta DMB\sim\Delta MEC(g.g)$

$\to \dfrac{MB}{EC}=\dfrac{BD}{MC}$

$\to BD.EC=MB.MC=\dfrac{a^2}4$

b.Từ câu a$\to\Delta ECM\sim\Delta MBD$

$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MB}{EC}$

$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MC}{EC}, MC=MB$

$\to \dfrac{MD}{MC}=\dfrac{ME}{CE}$

Mà $\widehat{DME}=\widehat{ECM}=60^o$

$\to\Delta DME\sim\Delta MCE(c.g.c)$

c.Từ câu b$\to \widehat{DEM}=\widehat{MEC}$

$\to EM$ là phân giác $\widehat{DEC}$

Kẻ $MF\perp DE, MG\perp EC\to MF=MG$

Ta có : $\Delta MGC$ có $\hat G=90^o,\hat C=60^o\to MG=\dfrac{MC\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{4}$

$\to d(M,DE)=\dfrac{a\sqrt3}{4}$