$\text{Trên tia đối của MA, ta lấy điểm D sao cho MA = MD}$

$\text{Xét ΔABM và ΔDCM có:}$

         `BM = CM (g t)`

         `\hat{AMB}=\hat{DMC}` $\text{(2 góc đối đỉnh)}$

         `MA = MD`

`⇒ ΔABM = ΔDCM (c.g.c)`

`⇒ AB = CD` $\text{(2 cạnh tương ứng)}$

    `\hat{ABM}=\hat{DCM}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AB // CD}$

`⇒ \hat{BAC}+\hat{DCA}=180^o` $\text{(2 góc trong cùng phía)}$

`⇒ 90^o + \hat{DCA}=180^o ⇒ \hat{DCA}=90^o`

$\text{Xét ΔABC và ΔCDA có:}$

         `AB = CD (cmt)`

         `\hat{BAC}=\hat{DCA}=90^o`

         `AC: chung`

`⇒ ΔABC = ΔCDA (c.g.c)`

`⇒ BC = AD` $\text{(2 cạnh tương ứng)}$

` mà ` `AM = 1/2 AD` $\text{(do MA = MD)}$

`⇒ AM = 1/2 BC (đpcm)`

Ta có: Đường trung tuyến AM.

$⇒ BM  = MC$  (1)

Lấy điểm E trên tia đối của tia AM, sao cho $AM = EM$

Xét ΔAMB và ΔCME, có:

$\widehat{AMB}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh)

$BM=MC$ (theo (1)) 

$AM=ME$ (gt)

$⇒ ΔAMB = ΔCME (c.g.c)$

$⇒ AB=EC$ (2 cạnh tương ứng) (2)

$⇒\widehat{ABM}=\widehat{ECM}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{ABM}$ và $\widehat{ECM}$ nằm ở góc so le trong.

$⇒AB║CE$

Ta có: $\widehat{BAM}$ và $\widehat{ECM}$ nằm cùng phía.

$⇒\widehat{BAM}+\widehat{ECM}=180^{o}$ 

Mà: $\widehat{BAM}=90^{o}$

$⇒\widehat{ECM}=180^{o}=180^{o}-\widehat{BAM}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$

$⇒\widehat{BAM}=\widehat{ECM}=90^{o}$   (3)

Xét ΔABC và ΔCEA, có:

$\widehat{BAM}=\widehat{ECM}=90^{o}$ (theo (3))

$AB=CE$ (theo (2))

AC chung

$⇒ΔABC = ΔCEA (c.g.c)$

$AE=BC$ (2 cạnh tương ứng)  (4)

Mà: $AM+ME=AE$ hay $AM=\dfrac{1}{2}AE$  (5)

Từ $(4), (5) ⇒AM=\dfrac{1}{2}BC$ (đpcm)