Bạn tự vẽ hình nhé!

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (pytago)

=> BC² = 8² + 15² =289

=> BC = 17 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

=> AB²=BH.BC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=> BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{8^2}{17}$ = $\frac{64}{17}$ (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

=> AH.BC=AB.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=> AH . 17 = 8.15

=> AH = 120 : 17

=> AH = $\frac{120}{17}$ (cm)

b) Vì HM và HN là hình chiếu của H trên AB, AC

=> HM⊥AB, HN⊥AC

Xét tứ giác AMHN có

AB⊥AC, HM⊥AB, HN⊥AC

=> AMHN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

=> AH = MN (tính chất hình chữ nhật)

=> MN = AH = $\frac{120}{17}$ (cm)

c) Vì AMHN là hình chữ nhật

=> AH∩MN tại trung điểm mỗi đường

mà AH = MN (cmt)

=> 1/2 AH = 1/2 MN

gọi I là giao của HA và MN

=> tam giác IAM cân tại I

=> góc IAM = góc IMA (t/c tam giác cân)   (1)

Vì AMHN là hình chữ nhật 

=> AM // HN

=> góc MAI = góc INH (so le trong)            (2)

mà góc IHN + góc HAC = 90 độ

     góc HAC + góc ACH = 90 độ

=> góc IHN = góc ACH                               (3)

Từ (1), (2), (3)

=> góc IMA = góc ACH

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có

góc IMA = góc ACH

góc MAC = 90 độ

=> tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (gg)

=> $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AN}{AB}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

=> AM.AB=AN.AC

`\text{@Jin}`