Đáp án+Giải thích các bước giải:

`GT: \triangle DEF` cân tại `D`, `DI` là trung tuyến.

       `c, DI=12cm, EF=10cm`

`KL: a, \triangle DEI=\triangle DFI`

      `b, \hat{DIE}` và `\hat{DIF}` là góc gì?

      `c, DE=?`

Giải:

`a, \triangle DEF` cân tại `D` 

`-> DE=DF` (tính chất tam giác cân)

`DI` là đường trung tuyến

`-> IE=IF`

Xét `\triangle DEI` và `\triangle DFI` có:

`DE=DF`

`IE=IF`

Cạnh `DI` chung

`-> \triangle DEI=\triangle DFI (c-c-c)`

`b,`

Từ `\ triangle DEI=\triangle DFI (c-c-c)`

`-> \hat{DIE}=\hat{DIF}` (`2` góc tương ứng)

Mà `\hat{DIE}+\hat{DIF}=180^o`

`-> \hat{DIE}=\hat{DIF}=90^o`

Vậy `\hat{DIE}` và `\hat{DIF}` là các góc vuông

`c,`

Ta có:

`EF=10`

`-> IE=1/2 EF=5cm`

Áp dụng định lý Pytago vào `\triangle DIE` vuông tại `I`

`-> DE^2=DI^2+IE^2`

`-> DE^2=12^2+5^2`

`-> DE^2=144+25`

`-> DE^2=169`

`-> DE=13 (cm)`

Vậy `DE=13cm`

                                                   Giải

a) Vì `ΔDEF` cân tại `D` `⇒ DE = DF`

   Vì `DI` là đường trung tuyến của `ΔDEF` 

`⇒ IE = IF`

Xét `ΔDEI` và `ΔDFI` có: `{(DI \text{chung}),(IE=IF),(DE=DF):}`

`⇒ ΔDEI = ΔDFI` `text{(c.c.c)}`

 Vậy `ΔDEI = ΔDFI`

b) Vì `ΔDEI = ΔDFI` (câu a) `⇒ hat{DIE} = hat{DIF}` (tương ứng)

Mà `hat{DIE} + hat{DIF} = 180^o` (vì kề bù)

`⇒ hat{DIE} + hat{DIE} = 180^o`

`⇒ 2 hat{DIE} = 180^o`

`⇒ hat{DIE} = 180^o : 2 = 90^o`

`⇒ hat{DIE} = hat{DIF} = 90^o`

Vậy `hat{DIE}` và `hat{DIF}` là góc vuông.

c) Vì `EF = 12 cm`

`⇒ IE = IF = 12 : 2 = 6` (cm)

Vì `hat{DIE} = 90^o` (câu b)

`⇒ ΔDIE` vuông tại `I`

`⇒` Áp dụng định lí Pytago vào `ΔDIE` ta có:

`DI^2 + IE^2 = DE^2`

`⇒ 12^2 + 6^2 = DE^2`

`⇒ DE^2 = 144 + 36 = 180`

`⇒ DE = 6√5` (cm)

Vậy `DE = 6√5` cm.