Giải thích các bước giải:

 a) Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\eqalign{   & {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{4}{3}  \cr    & {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}  \cr    &  \Rightarrow G(\frac{4}{3};\frac{2}{3}) \cr} $

$\eqalign{   & \overrightarrow {AB}  = ( - 5; - 10)  \cr    & \overrightarrow {BC}  = (8;4) \cr} $

Gọi H(x,y) là trực tâm tam giác ABC thì: $\overrightarrow {CH}  \bot \overrightarrow {AB} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {CH}  = (x - 5;y);\,\overrightarrow {AH}  = (x - 2;y - 6)$ 

$\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0$, $\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0$

=> $\eqalign{    - 5(x - 5) - 10y = 0;\,8(x - 2) + 4(y - 6) = 0 \cr     \Leftrightarrow x = 5,y = 0 \cr} $

=> H(5,0)

Gọi M,N là trung điểm của AB và BC, khi đó M(4,1) và N(2,2)

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn ngoại tiếp, khi đó:

$\eqalign{   \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AB}  = 0,\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {BC}  = 0 \cr     \Leftrightarrow  - 5(4 - a) - 10(1 - b) = 0;\,8(2 - a) + 4(2 - b) = 0 \cr     \Leftrightarrow a = 2;\,b = 2 \cr} $

=> I(2,2)

b) Ta viết được pt BC là: $y = \frac{{x - 5}}{2}$

Gọi AL là tia phân giác trong góc A, L thuộc BC

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\eqalign{   & \frac{{BL}}{{LC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 1  \cr    &  \Rightarrow BL = LC \cr} $

=> L là trung điểm của BC

=> toạ độ của L là: L(1,-2)

Vì AB=AC=$\sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 $

=> AL là tia phân giác góc A đồng thời là đừong cao tam giác ABC

=> $AL \bot BC$

Vì tia phân giác trong và ngoài luôn vuông góc với nhau

=> tia phân giác ngoài góc A vuông góc với AL

=> tia phân giác ngoài góc A song song BC

=> Không có giao điểm của BC và tia phân giac ngoài góc A

c) Gọi tâm đường tròn nội tiếp ABC là O

=> O thuộc AL, BO là tia phân giác góc ABL

Theo tính chất tia phân giác trong tam giác ABL ta có:

$\frac{{AO}}{{OL}} = \frac{{BA}}{{BL}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{\frac{{BC}}{2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{4\sqrt 5 :2}} = 1$

=> O là trung điểm của AL

=> toạ độ O tìm được là: O($2; - \frac{3}{2}$)