Đáp án:

a) Tứ giác BMNP là hình thang cân

b) $\triangle ABM\backsim\triangle ACD$ với tỉ số đồng dạng $k=\dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ADC$:

M là trung điểm của AD (gt)

N là trung điểm của AC (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ADC$

$\to MN//DC$

Tương tự $\to MP//AC, MP=\dfrac{1}{2}AC$

$\triangle ABC$ vuông tại B, đường trung tuyến BN

$\to BN=\dfrac{1}{2}AC$

Xét tứ giác BMNP:

$MN//BP\,\,\,(MN//DC)\\BN=MP\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác BMNP là hình thang cân

b)

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{ACB}=90^o-60^o=30^o$

$\triangle ABD$ vuông tại B, đường trung tuyến BM

$\to BM=AM=MD=\dfrac{1}{2}AD$

$\to\triangle MAB$ cân tại M

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (2 góc ở đáy)

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=30^o$

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACD$:

$\widehat{MAB}=\widehat{DAC}$ (gt)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACD}\,\,\,(=30^o)$

$\to\triangle ABM\backsim\triangle ACD$ (g.g)

$\to k=\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD}{AD}=\dfrac{1}{2}$