Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

1) Điều kiện 0 ≤ y ≤ x

Áp dụng BĐT

(a + b)² ≤ 2(a² + b²) <=> a + b ≤ √2(a² + b²) với a = √(x + y); b = = √(x - y) 

Xét PT thứ nhất ta có :

VT = 2√(x + y) + 2√(x - y) ≤ 2√[2(x + y) + (x - y) = 4√x (1)

Mặt khác áp dụng BĐT cô si:

VP = 4 + √(x² + y²) ≥ 4 + x ≥ 4√x (2)

Từ (1) và (2) suy ra PT thứ nhất chỉ xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu = ở (1) và (2) hay khi : 

{ x + y = x - y 

{ y = 0 và x = 4

các giá trị x = 4; y = 0 thỏa PT thứ hai

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 0)

2) Đặt x = y + m hay x - y = m với m ≥ 0

Xét hiệu:

x^3 - y^3 - 3x + 3y + 4 = (x - y)^3 + 3xy(x - y) - 3(x - y) + 4 = m^3 + 3my(y + m) - 3m + 4 = 3my² + 3m²y - 3m + 4

Tam thức bậc 2 f(y) = 3my² + 3m²y - 3m + 4 có biệt thức :

Delta = - 3m(m + 4)(m - 2)² ≤ 0 nên f(y) cùng dấu với hệ số a = 3m với mọi y

Nghĩa là x^3 - y^3 - 3x + 3y + 4 ≥ 0

Hay : x^3 -  3x + 4 ≥ y^3 - 3y với mọi x ≥ y