Đáp án: $\widehat {MN;\left( {SBD} \right)} = \arcsin \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Giải thích các bước giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Vì SABCD là chóp tứ giác đều nên SO vuông  góc với  (ABCD)

Gọi E là hình chiếu M trên (ABCD)

=> E là trung điểm của AO

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {MN;\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {MN;EN} \right)} = \widehat {MNE} = {60^0}\\
Do:N{E^2} = C{N^2} + C{E^2} - 2.CN.CE.cos\widehat {NCE}\\
 \Rightarrow NE = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\\
 \Rightarrow MN = 2.ME = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}
\end{array}$

Gọi I là giao điểm của EN và BO

Từ I kẻ đường thẳng song song với ME, cắt MN tại H

=> H là giao điểm của MN và (SBD)

Hình chiếu của N lên BD là K

=> góc giữa MN và (SBD) là góc NHK

Xét tam giác vuông NHK có:

$\begin{array}{l}
NH = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\\
NK = \dfrac{{CO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\\
 \Rightarrow \sin \widehat {NHK} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\\
 \Rightarrow \widehat {MN;\left( {SBD} \right)} = \arcsin \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}$